Elevene kan bare komme til dybdeforståelse av derivasjon hvis de har gjort seg erfaringer og har blitt fortrolige med uendelige prosesser og grenseverdi. Igjen tar vi utgangspunkt hos de gamle grekere. Denne gang er i Zenons berømte paradoks om sprinteren Achilles, som ikke kunne ta igjen en treg skilpadde. Elevene oppdager også at det i noen tilfeller går an å finne summen av uendelig mange tall. De utvikler formelen . Avslutningsvis undersøker elevene kvotienter der både nevner og teller nærmer seg null og kvotienten nærmer seg et tall. Dette er en ganske overraskende oppdagelse for dem og det er kjernen i derivasjon.

Utforskningsreisen om derivasjon tar utgangspunkt i en konkret kroppslig erfaring hos elevene, nemlig et stup fra 5 meter tårnet. Mange har erfart at man har en momentanhastighet når man da rammer vannet. Men hva er denne momentanhastigheten? Og hvordan kan vi finne den? Heretter finner elevene stigningstallet for tangenten i vilkårlige punkter, først for , seinere for og for vilkårlige polynomfunksjoner. Utforskningsreisen gir også et første møte med funksjonsdrøfting og maksimeringsutfordringer.